BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Peningkatan kualitas mutu pendidikan
termasuk pendidikan matematika merupakan
suatu hal yang mutlak
harus terus diupayakan, karena
pendidikan memegang peranan penting untuk
meningkatkan kualitas sumber daya
manusia. Pendidikan yang bermutu
dapat memberikan bekal kepada siswa agar dapat memenuhi tuntunan hidup
menyelesaikan permasalahan-permasalahan
dalam kehidupan sehari-hari. Secara
lebih luas, pendidikan yang
bermutu dan
berkualitas, serta dapat
menyiapkan siswa untuk menjadi manusia masa
depan yang menguasai ilmu pengetahuan dan teknologi khususnya dalam pelajaran matematika.
Matematika
dipelajari hampir di seluruh jenjang pendidikan. Ini merupakan sebuah wujud
dari pengakuan bahwa matematika sangat dibutuhkan dan diperlukan tentunya dalam
pengembangan pengetahuan dan kehidupan sehari-hari. Sekolah merupakan salah
satu lembaga yang memberikan siswa kesempatan untuk belajar banyak mengenai
berbagai hal termasuk matematika. Akan tetapi dalam perjalanannya terdapat
berbagai hambatan yang menyebabkan proses pembelajaran tidak berjalan sesuai
dengan yang diinginkan. Disinilah peranan seorang guru sangat diperlukan
terutama dalam menggunakan strategi belajar yang baik dan memilih pendekatan
mengajar yang sesuai dengan keadaan siswa.
Pemilihan
strategi dan pendekatan yang sesuai dengan keadaan siswa juga sangat diperlukan
dalam pembelajaran matematika, khususnya pembelajaan mengenai bilangan cacah.
Bilangan cacah merupakan konsep dasar yang semestinya di kuasai dan di pahami
anak sehingga dapat menguasai dan memahami aplikasi konsep ini dalam kehidupan
sehari-hari. Dengan adanya tuntutan ini perlu kiranya dipelajari melalui
pembelajaran bermakna mengenai konsep bilangan cacah. Sebagai implikasinya
calon guru SD dan guru SD sebagai pendidik seyogianya mampu memahami dan
menguasai konsep bilangan cacah dan terampil meyajikan secara bermakna baik
pada sisiwa di kelas rendah maupun di kelas tinggi.
Oleh
karena itu, makalah ini menyajikan tentang konsep bilangan cacahyang meliputi
pemahaman konsep pengurangan bilangan cacah, pemahaman konsep perkalian
bilangan cacah, dan pemahaman konsep pembagian bilangan cacah. Agar calon guru
SD dapat memahami tentang bilangan cacah dan dapat menerapkanya ketika nanti
mengajar dalam sekolah dasar.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang
di atas, Adapun beberapa masalah yang
dapat dirumuskan yaitu sebagai berikut:
1.3
1 Bagaimana cara
memahamikonsep pengurangan bilangan cacah ?
1.3
2 Bagaimana cara memahami
konsep perkalian bilangan cacah ?
1.3
3 Bagaimana cara memahami
konsep pembagian bilangan cacah ?
1.3 Tujuan
Adapun beberapa tujuan yang
dapat dicapai dari rumusan masalah diatas adalah sebagai berikut:
1.3 1
Untuk dapat memahami konsep pengurangan bilangan cacah.
1.3
2 Untuk dapat memahami konsep perkalian
bilangan cacah.
1.3
3 Untuk dapat memahami konsep
pembagian bilangan cacah.
1.4 Manfaat
Adapun manfaat yang diharapkan dari penulisan makalah ini, yaitu:
1.4 1
Memahami konsep pengurangan bilangan cacah.
1.4
2 Memahami konsep perkalian
bilangan cacah.
1.4 3
Memahami konsep pembagian bilangan cacah.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pemahaman Konsep Pengurangan
Model penyajian
pengurangan dapat menggunakan model konkret, semi konkret, semi abstrak dan
abstrak. Model yang dipilih harus disesuaikan dengan tahap berpikir siswa belajar.
Dengan demikian kecermatan seorang guru, untuk memilih pendekatan dan model
pengajaran suatu topik dalam matematika sangat menentukan keberhasilan siswa
dalam belajar. Beberapa model penyajian operasi pengurangan dua buah bilangan
cacah dapat disajikan seperti di bawah ini.
Pengurangan
2 bilangan cacah dengan garis bilangan
Contoh: 8 – 2 = …….
Suruhlah seorang siswa untuk menempati
angka nol dan menghadap ke bilangan positif (ke kanan). Kemudian perintahkan
siswa tersebut melangkah maju satu-satu langkah sebanyak delapan skala.
Lanjutkan dengan melangkah mundur sebanyak tiga skala. Didapatkan kedudukan
siswa terakhir adalah 8 - 3 yaitu 5. Secara singkat ditulis 8 – 2 = 6
Penjelasan diatas dapat digambarkan
sebagai berikut.
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
Gambar 2.1 Konsep pengurangan dengan
garis bilangan
Pengurangan
2 bilangan cacah dengan kartu nilai tempat
Contoh: 7 – 2 = …..
Ambil 7 buah kartu satuan dan pasangkan
berderet. Kemudian ambil dan pisahkan dua buah kartu satuan dari deretan kartu
nilai tempat. Sisa kartu nilai tempat adalah hasil 7 – 2 yaitu 5
Peragaannya:
Keadaan awal Setelah dua kartu dipisah Sisa
Gambar
2.1 Konsep pengurangan dengan kartu nilai tempat
Jadi 7 – 2 = 5
2.1.1 Pengenalan Fakta Dasar Pengurangan
Menentukan
selisih dua bilangan cacah, jelas diperlukan pemahaman fakta dasar pengurangan.
Yang dimaksud dengan fakta dasar pengurangan adalah pengurangan dua buah
bilangan cacah, dimana bilangan yang dikurangi dari 0 sampai 18, bilangan
pengurangan dan hasilnya dari 0 sampai 9. Jadi jika a – b = c merupakan fakta
dasar pengurangan maka, 0 ≤ a ≤ 18, 0 ≤ b ≤ 9 dan 0 ≤ c ≤ 9. Beberapa model
yang dapat digunakan dalam mengajar fakta dasar pengurangan adalah menggunakan
model dan menggunakan pola.
a. Menggunakan Model
Penggunaan model yang telah digunakan dalam mengajar
penjumlahan ternyata berguna pula dalam mengajarkan fakta pengurangan. Papan
flanel dan papan magnetik adalah beberapa alat bantu yang dapat digunakan dalam
mengajarkan konsep pengurangan yang memungkinkan siswa terlibat secara aktif
dalam kegiatan pembelajaran yang dilakukan.
Dialog berikut biasa dilakukan dalam mengajar
pengurangan sebagai lawan dari penjumlahan dengan menggunakan bantuan alat
berupa lidi.
Dari gambar diatas seorang guru dapat melakukan
interaksi menggunakan dialog sederhana. Guru mulai memandu siswa berdasarkan
dengan media pendukung seperti gambar diatas. Guru berkata pada gambar ini kita
melihat 8 lidi sambil menunjuk ke himpunan 8 benda tersebut. Kemudian guru
menutup sebagian gambar dengan karton. Kemudian guru bertanya berapa lidi yang
masih terlihat anak-anak siswa pun menjawab 4. Dengan melakukan dialog
sederhana ini akan terjadi interaksi yang aktif antara siswa dan guru karena
siswa diberikan kesempatan untuk mengemukakan temuan mereka.
b. Menggunakan Pola
Seperti halnya pada penambahan, banyak pola yang
digunakan untuk menyajikan konsep pengurangan, diantaranya dapat dilihat pada
tabel berikut.
Pola
|
Generalisasi
|
|||
3
|
-
|
0
|
= 3
|
|
7
|
-
|
0
|
= 7
|
|
10
|
-
|
0
|
= 10
|
|
114
|
-
|
0
|
=……………..
|
n – 0 = n
|
6
|
-
|
6
|
= 0
|
|
9
|
-
|
9
|
= 0
|
|
18
|
-
|
18
|
= 0
|
|
449
|
-
|
449
|
=……………..
|
n – n = 0
|
Model-model
di atas dapat disajikan kepada siswa dengan menggunakan himpunan benda-benda
nyata (alat peraga, sehingga konsep fakta pengurangan dapat dengan mudah
dipahami oleh siswa). selain menggunakan model, konsep fakta pengurangan dapat
pula disajikan dengan pola.
Contoh
:
Nama
Pola
|
|||||
7
|
-
|
4
|
=
|
3
|
Kompensasi
|
8
|
-
|
5
|
=
|
3
|
|
9
|
-
|
6
|
=
|
3
|
|
8
|
-
|
1
|
=
|
7
|
Yang kurangi 7
|
8
|
-
|
2
|
=
|
6
|
|
8
|
-
|
3
|
=
|
5
|
|
4
|
-
|
3
|
=
|
1
|
Pengurangan 3
|
5
|
-
|
3
|
=
|
2
|
|
6
|
-
|
3
|
=
|
3
|
|
8
|
-
|
4
|
=
|
(8-2-2)
|
Pengurangan sebagian-
Sebagian
|
=
|
(6-2)
|
||||
=
|
4
|
Tabel
di bawah ini berisi ringkasan dari cara mengajar fakta dasar pengurangan yang
telah dipelajari.
Soal
|
Metode
|
Penyelesaian
|
||
5 - 2
|
=
|
Menyekat himpunan
|
5 – 2 = 3
|
|
8 – 6
|
=
|
Membandingkan himpunan
|
8 – 6 = 2
|
|
11 – 5
|
=
|
Kalimat penambahan
|
11 – 5 = 6
|
|
Yang berkaitan : 5 + 6 = 11
|
||||
12 - 3
|
=
|
Dengan pola
|
12 – 3 = 10
|
|
12 – 1 = 11; 12 – 2 = 10
|
||||
15 – 7
|
=
|
Dengan kompensasi
|
15 – 7 = 8
|
|
15 – 7 = (15 + 3) – (7 + 3)
=
18 – 10 = 8
|
||||
7 - 4
|
=
|
Dengan baris bilangan
|
7 – 4 = 3
|
|
9 – 6
|
=
|
Dengan menghubungkan dengan
|
9 – 6 = 3
|
|
fakta : 8 – 6 = 2
|
Pembentukan keterampilan dengan mencongkak sangat
penting untuk diajarkan, karena mencongkak adalah salah satu teknik pengajaran
dalam berhitung. Cara yang dimaksud untuk melatih anak berpikir cepat dalam
menentukan hasil. Dalam mencongkak yang penting adalah menalar soal-soal
berhitung secara sistematis. Kegiatan dilakukan pada akhir pelajaran dan
sebelum melakukan kegiatan ini perlu dipersiapkan soal-soal yang digunakan
untuk mencangkok.
Pada umumnya
pengurangan mempunyai tiga jenis :
1)
Membuang
Dodi mempunyai
kelereng 5 buah. Ia memberikan 2 buah kepada adiknya. Berapa buah kelereng
sisanya ?
Gambar
2.2 Konsep pengurangan dengan himpunan
2)
Mencari Suku yang Hilang
Dodi mempunyai
kelereng 3 buah. Untuk dapat bermain dia membutuhkan 5 buah kelereng. Berapa
buah kelereng lagi harus dia miliki?
Gambar 2.3 Mencari suku yang hilang
dengan himpunan
3)
Membandingkan
Dodi mempunyai kelereng 3 buah. Dudu punya kelereng
5 buah. Berapa lebihnya kelereng Dudu dari kelereng Dodi?
5
– 3 = ……
atau
3 + … = 5
Gambar 2.4 Konsep pengurangan
Sebagaimana penjumlahan, pengurangan pun dapat
didekati dengan himpunan, pengukuran, garis bilangan, timbangan, dan dengan
cuisionare.
2.1.2 Pengajaran Algoritma Pengurangan
Model penyajian abstrak dari pengurangan dua
bilangan cacah dapat kita ikuti contoh-contoh di bawah ini :
a.
Menentukan hasil dari 38 – 13 dengan
cara panjang
38
|
=
|
30
|
+
|
8
|
||
14
|
=
|
10
|
+
|
3
|
||
38 –
14
|
=
|
20
|
+
|
5
|
||
=
|
25
|
Jadi 38 – 14 = 25
b.
Menentukan hasil dari 38 – 13 dengan cara singkat
1)
|
38
|
2)
|
38
|
|||||
13
|
13
|
|||||||
5
|
25
|
Langkah-langkah pengerjaannya
sebagai berikut :
1)
Mengurangkan 8 – 3 = 5 dan dituliskan angka 5 tepat di
bawah angka satuan.
2)
Langkah berikutnya kita kurangkan 3 – 1
= 2, tuliskan angka 2 tepat di bawah angka puluhan yang dikurangkan.
Pada
contoh di atas angka satuan bilangan yang dipergunakan lebih besar dari pada
angka satuan bilangan pengurangan.
c.
Menentukan 43 – 28 dengan cara singkat
1)
|
42
|
2)
|
42
|
3)
|
42
|
4)
|
42
|
|||||||||||
27
|
27
|
27
|
27
|
|||||||||||||||
5
|
15
|
15
|
Pada
langkah 1) pengurangan tidak bisa langsung
dikurangi sebab 2
– 7 = -5 bukan
bilangan cacah. Oleh karena itu, 1 puluhan dari 42 harus dijadikan satuan sehingga pada
langkah 2), puluhan pada 42
menjadi 3, sedangkan angka satuannya 12
jadi pikirkan 12
– 7 =
5. Tulis angka 5 tepat di bawah satuan yang dikurangkan.
Pada
langkah 3) kita melakukan pengerjaan pada
angka puluhan yaitu 3 – 2 = 1. Tuliskan angka 1 tepat di bawah angka puluhan
bilangan yang akan dikurangkan, sehingga 43 – 28 = 15. Pada langkah 4) hanya
memperlihatkan model singkat dari pengurangan yang dilakukan pada langkah ke 2)
dan 3)
Menentukan
selisih dua bilangan cacah dengan cara singkat seperti di atas, jelas
diperlukan pemahaman fakta dasar pengurangan. Aturan pengurangan dua bilangan
cacah ratusan, ribuan, puluhan, puluh ribuan, dan seterusnya pada prinsipnya
sama.
Model
pengurangan 847 – 534 dengan cara singkat
1)
|
847
|
2)
|
847
|
3)
|
847
|
|||||||
534
|
534
|
534
|
||||||||||
3
|
13
|
313
|
Pada langkah 1) pengerjaan yang dilakukan adalah
menentukan 7 – 4 = 3. Kemudian angka 3 ditulis tepat di bawah angka satuan
bilangan yang dikurangkan.
Pada langkah 2) pengurangan yang dilakukan adalah
menentukan 4 – 3 = 1. Kemudian angka 1 ditulis tepat di bawah angka puluhan
bilangan yang dikurangkan.
Pada langkah 3) pengerjaan yang dilakukan adalah
menentukan 8 – 5 = 3. Kemudian angka 3 ditulis tepat dibawah angka ratusan
bilangan yang dikurangkan. Jadi 847 – 534 = 313.
1)
|
974
|
2)
|
974
|
3)
|
974
|
|||||||
438
|
438
|
438
|
||||||||||
6
|
36
|
536
|
Pada langkah 1) pengerjaan yang dilakukan adalah
meminjam puluhan dari 7 puluhan, karena 4 – 8 hasilnya bukan bilangan cacah.
Akibat hal ini diatas, maka angka piluhan tinggal 6 dan angka satuannya menjadi
14. Kemudian tentukan hasil pengurangan 14 – 8 = 6. Tuliskan angka 6 tersebut
tepat dibawah angka satuan bilangan yang dikurangkan.
Pada langkah 2) pengerjaan yang dilakukan adalah
menentukan 6 – 3 = 3. Tuliskan angka 3 tersebut tepat dibawah angka puluhan
bilangan yang dikurangi.
Pada langkah 3) pengerjaan bilangan yang dilakukan
adalah menentukan 9 – 4
= 5. Tuliskan angka
4 tersebut tepat dibawah angka ratusan yang dikurangkan.
Jadi,
974 – 438 = 536
2.2 Pemahaman Konsep
Perkalian
Untuk
,menyajikan konsep perkalian dapat dilakukan melalui penjumlahan berulang,
misalnya :
2
x 4 = 4 + 4 = 8
3
x 5 = 5 + 5 + 5
= 15
4
x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24
Pada tahap permulaan menjelaskan
perkalian diharapakan dapat menggunakan benda- benda konkret,
a.
Benda-benda konkret
Perhatikan contoh dibawah ini!
Ada 4 kartu ada lagi 4 kartu
Gambar 2.5 Konsep Perkalian 2 x 4
2 x 4 =
8
|
Mengambil 3 buah kartu sebanyak 2 kali,
berturut-turut, jadi seluruhnya ada berapa kartu? Ya, 6 buah kartu.
Jadi kita tulis :
Dengan menghitung berulang, sebagai
contoh untuk menghitung 2 x 3, maka kita sediakan 3 jari. Kemudian dihitung 2
kali, maka hitungan terahir (yaitu 6) jawabanya.
Penjelasan seperti di atas
diulang-ulang sampai siswa siswa
memahami arti “ KALI ” atau “ PERKALIAN ”, dengan contoh benda-benda konkret
lain yang dikenal anak dalam kehidupan sehari-hari di lingkungan sekitarnya.
b.
Tahap berikutnya kita perdalam pemahaman
anak tentang perkalian dengan pendekatan lain, yaitu perkalian sebagai suatu
penjumlahan berulang-ulang. Sebelumnya dapat juga kita menggunakan benda
konkret, sampai akhirnya mendapatkan bentuk sebagai berikut.
2 x 3 = 3 +
3 = 6
2 x 4 = 4 +
4 = 8
3 x 5 = 5 + 5 +
5 = 15
0 0 0 0
0 00
|
0 0 0
|
2 x 3 =
0 0 0
0 0
|
0 0
0 0 0
|
2 x 5 =
0 0 0
0 0
|
0 0 0
0 0
|
0 0 0
0 0
|
c.
Kalau siswa telah memahami pengertian
perkalian ini, guru dapat mengevaluasinya dengan pertanyaan dan
latihan-latihan, termasuk perkalian bilangan yang sama 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4,
maka diharapkan perkalian menjadi bagian dari pengetahuan setiap siswa. Dengan
demikian kegiatan mendengar dan menghafal perkalian ini, dimulai dari perkalian
1 x 1 sampai 10 x 10, kemudian dilanjutkan perkalian sampai 100.
d.
Pemahaman dan penerapan selanjutnya
dapat disajikan dalam bentuk soal-soal cerita yang melibatkan pengerjaan
perkalian, baik secara tertulis maupun lisan dengan mencongkak.
e.
Perkalian bersusun
Dalam kehidupan sehari-sehari
sering dilakukan adalah mengerjakan perhitungan perkalian secara bersusun,
yaitu untuk bilangan-bilangan lebih besar dari 10, karena perkalian bilangan
sampai dengan 10 dapat dihitung diluar kepala. Oleh karena itu, keterampilan
dalam perkalian bersusun ini sangat penting bagi anak untuk dilatih secara
terus-menerus. Tahap penyajian yang perlu diperhatikan tanpa menyimpan :
Tetapi keterampilan akhir yang
harus dikuasai murid adalah keterampilan mengalikan secara secara bersusun,
termasuk keterampilan untuk menyimpan dalam ingatan.
Selanjutnya dapat dilatih terus
perkalian-perkalian bersusun dengan satu kali menyimpan. Perlu diperhatikan
bahwa perkalian bersusun ini diberikan kepada siswa dengan syarat siswa telah
mempunyai pengetehuan siap akan perkalian bilangan sampai dengan 10.
2.2.1 Penyajian Konsep
Perkalian
Penyajian konsep perkalian didahului dengan model
konkret kemudian model abstrak.
a.
Menggunakan Penjumlahan Berulang
Seorang siswa mempunyai permen
“relaxa” sebanyak tiga bungkus. Setiap bungkus berisi empat permen. Berapa buah
permen yang dimiliki siswa tersebut? Pada bungkus pertama empat permen, bungkus
kedua empat permen, dan bungkus ketiga empat permen, sehingga jika dihitung
semua sebanyak 12 buah.
Jika
digambar.
Gambar 2.6 Konsep perkalian 3x4
Dari contoh ini jelas kita lihat
bahwa perkalian merupakan penjumlahan berulang.
3 x 4 = 4+4+4 = 12
b.
Menggunakan Garis Bilangan
Tentukan hasil kali 2 x 3 dengan
garis bilangan. Karena perkalian dapat diartikan sebagai penjumlahan berulang,
maka 2 x 3 berarti 3 + 3. Sehingga cara menunjukkan 2 x 3 dengan pita garis
bilangan sama dengan cara menunjukan 3 + 3.
Caranya sebagai berikut.
Pasangkan model mobil sehingga
tepat pada angka nol, dan mobil tersebut harus menghadap ke kanan.
Langkahkan maju mobil tersebut dua
langkah dengan setiap langkah tiga skala (satuan).
Kedudukan mobil terakhir adalah
hasil kali dari 2 x 3 (guru/pengajar diharapkan dapat menstimulasikan di
kelas).
c.
Tentukan hasil 3 x 2 dengan batang
“cusenaire”.
Menunjukan hasil 3 x 2 sama dengan
menunjukan 2 + 2 + 2.
Caranya sebagai berikut.
Ambil tiga buah batang berwarna
merah (M) untuk 2. Kemudian ketiga batang tersebut pasanglah dengan cara
disambungkan menurut panjangnya, hasil kali 3 x 2 adalah batang berwarna yang
disambungkan ketiga batang tersebut panjangnya sama, batang kuesioner yang
cocok adalah HT (hitam) dengan nilai enam.
M
|
M
|
M
|
HT
|
||
M
|
M
|
M
|
2.2.2 Penyajian Secara
Abstrak
Penyajian dengan model abstrak ini,
sangat penting karena cara inilah yang akan digunakan siswa dalam kehidupan sehari-harinya.
Berikut ini akan dibahas model abstrak cara panjang dan model cara singkat.
a.
Dengan Model Abstrak Cara Panjang
18 =
12 + 6 bentuk panjang dari 18
3 = 0 + 3 bentuk panjang
dari 3
18 x 3 =
36 + 18 hasil kali 3 x (12 + 6)
= 0 + 0 hasil
kali 0 x (12
+ 6)
= 36 + 18 nama lain dari 36 + 18
= 54 nama
lain 36
+ 18
b.
Dengan Model Abstrak Cara Singkat
2 2
18 18
3 x
3 x
4 54
Pada langkah ke-1 menentukan 3 x 8 = 4. Kemudian 6 dituliskan tepat di bawah angka satuan
bilangan-bilangan yang dikalikan, sedangkan 2 di bawah (disimpan) dan dituliskan
tepat di atas puluhan dari bilangan yang dikalikan.
Pada langkah ke-2 menentukan hasil kali 3 x 1 = 3 dan
hasilnya dijumlahkan dengan bilangan yang disimpan pada langkah ke-1, sehingga
pada langkah ke-2, kita mengerjakan (3 x 1)
+ 2 = 5. Jadi hasil kali 3 x 18 = 54.
Menentukan hasil kali dua bilangan
cacah dengan model abstrak cara singkat seperti di atas, jelas diperlukan
pemahaman hafal fakta dasar perkalian. Yang
dimaksud fakta dasar perkalian dengan dua bilangan cacah dari 0 sampai 9, atau
daftar kali-kalian dari 0 sampai 9.
Misalnya:
0 x 1, 0 x 2, 0
x 3, 0 x 4, 0 x 1, … 0
x 9
1 x 1, 1 x 2, 1
x 3, 1 x 4, 1 x 1, … 1
x 9
2 x 1, 2 x 2, 2
x 3, 2 x 4, 2 x 1, … 2
x 9
9 x 1, 9 x 2, 9
x 3, 9 x 4, 9 x 1, … 9
x 9
2.2.3 Algoritma Perkalian
Pembelajaran algoritma perkalian
dapat dipahami dengan mudah oleh siswa. Jika diajarkan dengan urutan yang
dipandang memadai sebagai berikut.
Satu
kali satuan 3
x 4 =
Satu kali
puluhan 5
x 10 =
Satu kali
puluhan dan satuan 4
x 13 =
13
4 x
……
Satu kali satuan 40 x 5 =
Satu kali puluhan 30 x 40
=
Satu kali
puluhan dan satuan 13 =
54
x
…..
Misalkan anda hendak mengajarkan 5
x 17 = …, maka anda dapat menyajikan menurut langkah-langkah berikut.
2.
(5 x 10) + (10 + 7) menggunakn sifat distributive
3.
50 x 35 mengalikan satuan dan puluhan
4.
50 + (10 + 7) membri nama baru yaitu 35
5.
(50 + 30) + 5 menggunakan sifat asosiatif
6.
80 + 5 menambahkan
satuan dan puluhan
7.
85
Kemudian anda
dapat menyusun algoritma ini dalam bentuk dari atas ke bwah sebagai berikut.
17
5
….
17
5
35
50
85
Selanjutnya anda
dapat menggunakan cara ini untuk mengajarkanalgoritma perkalian puluhan dan
satuan dengan puluhan dan satuan.
16
13
….
26
13
18
3 x 20 = 60
26
13
18
60
10 x 6 = 60
26
13
18
60
10
x 20 = 200 200
338
Perkalian
bilangan yang lebih besar misalnya ratusan, ribuan, dan seterusnya untuk
kelaskelas yang lebih tinggi digunakan model perkalian dengan cara singkat.
Untuk lebih memahami algoritma di atas kita ikuti contoh-contoh di bawah ini.
a.
69
14
6
b.
69
14
276
c.
69
14
276
9
d.
69
14
276
69
966
Pada langkah a. pengerjaan yang dilakukan adalah
menentukan 4 x 9 = 36. Anda perhatikan angka 3 dan angka 6 yang harus dituliskan.
Pada langkah b. pengerjaan menentukan 4 x 6 = 24 dan hasilnya dijumlahkan
dengan 3 yang disimpan pada langkah a. jadi pada langkah ini menentukan (4 x 6)
+ 3 = 24 + 3 = 27. Anda perhatikn dimana angka 27 dituliskan. Pada langkah c,
pengerjaan yang dilakukan adalah menentukan 1 x 9 = 9. Anda pehatikan cara
menulis angka 9 tersebut. Pada langkah d, pengerjaan yang dilakukan adalah
dilakukan adalah menentukan 1 x 6 = 6. Demikian pula untuk angka 6, dimana
dituliskannya. Dari angkah c dan d diperoleh 69 berarti 690. Langah
selanjutnya, anda jumlahkan 276 dan 69 secara vertika, sehingga diperoleh 966.
Perhatikan pada contoh berikut adalah perkalian antara dua bilangan cacah
puluhan seperti di atas, hanya di sini lngahnya lebih banyak. Hal ini akibat
banan yang harus dikalkannya lebih banyak dari peralian pada contoh di atas.
Model
perkalian 834 x 374 denan cara singkat.
a. 834
376
5004
b. 834
376
5004
5838
c. 834
376
5004
5838
2502
313584
Pada langkah a, pengerjaan yang dilakukan
adalah menentukan 6 x 834 = 5004. Perhatikan cara menuliskannya.
Pada
langkah b, pengerjaan yang dilakukan menentukan 7834 = 5838 (yang berarti
58380). Anda perhatikan cara penulisan bilangan 5838.
Pada langkah , pengerjaan yang dilakukan
adalah menentukan 3 x 834 2502. Juga
anda perhatikan cara menulis bilangan 2502, sebab bilangan ini berarti 250200.
Langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah tiga biangan hasil kali pada
langkah a, b, dn c di atas. Lihat hasil yang diperhatikan pada langkah c di
atas. Jadi : 834 x 376 = 313584
2.3 Pemahaman Konsep
Pembagian
Konsep pembagian pada
bilangan cacah sangat perlu diberikan kepada siswa sekolah dasar. Bila
dibandingkan dengan operasi hitung lainnyaoperasi pembagian merupakan
pengajaran yang sangat sulit dipahami, dengan demikian diharapkan kita perlu
memperhatikan cara dibawah ini.
a. Menambahkan
pengertian pembagian dengan “dibagi dua”, konsep pembagian yang sederhana ini
mungkin telah dikenal siswa sebelumnya dalam kehidupan sehari-hari.
b.
Misalnya:
ada 6 buah kelereng dibagi 2 sama banyak, yaitu kepada Amir dan Ali, berapa
buah kelereng masing-masing?
Gambar
2.7 Konsep Pembagian 6 : 2
Ali mendapatkan
3 buah kelereng dan Amir juga mendapatkan 3 buah kelereng. Jadi 6 : 2 = 3.
Cara di atas
juga dapat dilakukan dengan mendistribusikannya. Ada 6 kelereng dibagi
satu-persatu kepada Amir dan Ali secara bergantian.
Diberikan
kepada Amir 1 buah (Amir )
Ali 1 buah (Amir )
Diberikan lagi Amir 1 buah (Amir )
Ali 1 buah (Amir )
Diberikan lagi Amir 1 buah (Amir )
Ali 1 buah (Amir )
Setelah kelereng
itu habis dibagi, maka masing-masing orang telah menerima 3 kelereng. Jadi 6 :
2 = 3
Pembagian dengan
pengelompokan
8 : 2 =…….....
Buatlah/siapkan 8 benda, kemudian kelompokan
dua-dua, maka terdapat 4 kelompok.
Gambar
2.8 Konsep Pembagian 8 : 2
Cara di atas
dapat dimantapkan dengan pendekatan lain, yaitu pembagian sebagai pengurangan
berulang-ulang. Jadi 6 : 3 sama dengan 6 – 3 – 3 – 3 = 0 ada dua kali pengurangan.
Jadi 6 : 3 = 2; 8 : 2 sama dengan 8 – 2 – 2 – 2 – 2 = 0, ada 4 kali
pengurangan. Jadi 8 : 2 = 4.
1.
Tahap selanjutnya adalah menghubungkan
antara pembagian dan perkalian. Pengetahuan siap anak tentang perkalian sampai
100 akan sangat membantu pengetahuan siapnya dalam pembagian. Latiahan yang
cukup dan terus menerus, akan membantu pengetahuan siap siswa.
3
x 4 = 12; 3 x 6 = 18 bentuk
pembagiannya adalah:
12
: 3 = 4 18 : 3 = 6
12
: 4 = 3 18 : 6 = 3
2.
Salah satu faktor tidak diketahui
3
x ….. = 12 atau 12 : ….. = 4
…..
x 4 = 12 ….. : 4
= 3
Selanjutnya
untuk pembagian-pembagian bilangan besar keterampilan membagi secara bersusun
perlu dimantapkan, karena dalam kenyataan hidup sehari-hari pembagian bilangan
besar ini sering muncul, sedangkan pembagian : bilangan sampai 100 dapat
dihitung di luar kepala. Pengajaran pembagian bersusun inipun harus
memperhatikan tahap-tahap kesukarannya.
111
|
|||
7
|
777
|
||
7
|
|||
77
|
|||
7
|
|||
7
|
|||
7
|
|||
0
|
Yang penting tahap ini menekankan pengajarannya
diamana proses pembagian bilangan yang dibagi dengan pembagiannya sama dan
selisihnya sam dengan 0, dan hasil pengurangnya sama dengan 0, maka proses
pembagian selesai.
112
|
|||
8
|
896
|
||
8
|
|||
96
|
|||
8
|
|||
16
|
|||
16
|
|||
0
|
Bilangan pertama tepat dapat dibagi
dengan pembagi dimana bilangan 8 dapat dibagi 8 dan bilangan 9 dapat 8,
kemudian, 1 tidak dapat dibagi 8 maka diturunkan bilangan 6 sehingga 16 habis
dibagi 8.
17
|
|||
6
|
102
|
||
6
|
|||
42
|
|||
42
|
|||
0
|
Memerlukan 2 angka untuk membagi
pertama dimana 1 tidak dapat dibagi 6 lalu diambil 2 angka yaitu 10 dibagi 6
hasilnya 1, kedua bilangan itu dikurangkan hasilnya 4 lalu diturunkan angka 2,
42 dibagi 6 hasilnya 7 dan hasil pengurangannya 0.
2.3.1 Penyajian Konsep
Pembagian
Sesuai dengan taraf berpikir anak sekolah dasar
masih dalam tahap berpikir konkret, semi konkret, semi abstrak, maka didalam
mebgajarkan konsep pembagian ini diharapkan dimulai dengan menggunakan benda
konkret atau alat peraga. Hal ini dapat membangkitkan minat belajar si anak.
Misalkan menggunakan alat seperti manic-manik, kartu dan kubus pada model
pengukuran yang termasuk model himpunan.
Misal
6 : 3 = 2
Gambar
2.9 Konsep Pembagian 6:3
Tanyakan kepada siswa berapa kali
mereka ambil atau ada berapa kelompok tigaan yang mereka peroleh, ucapkan
secara jelas bahwa apa yang baru mereka lakukan akan adalah membagi 6 oleh 3
dan hasilnya adalah 2. Kemudian ucapkan kalimat “enam dibagi tiga sama dengan
dua” dan minta seluruh kelas menirukan anda.
Model himpunan yang kedua
adalah”model sekatan” misalnya dengan menggunakan kartu sebagai alat peraga.
Kelompokan siswa menjadi kelompok-kelompok yang terdiri dari 3 anak. Beri
setiap kelompok 6 kartu, mula-mula minta salah satu siswa memegang keenam
kartu, kemudian membagikan satu persatu kartu tersebut k setiap anggota
kelompok termasuk dirinya sendiri. Kmudian tanyakan kepada mereka masing-masing
mendapat berapa kartu. Setelah itu katakan pada siswa bahwa apa yang baru saja mereka lakukan
adalah membagi 6 oleh 3 dan hasilnya 2. Kemudian ucapkan bersama siswa “enam
dibagi tiga sama dengan dua”.
Cara lain adalah dengan menggunakan
model garis bilangan. Untuk itu , gambarlah sebuah garis bilangan di papan
tulis. Katakana pada siswa bahwa kita akan menyelesaikan kalimat 6 : 3 =…..
dengan membilang loncat 3 langkah mundur (dari kanan ke kiri) sampai mencapai
nol. Kemudian lontarkan pertanyaan “ berapa kalin loncatan kita lakukan?” (2
kali)
3
|
5
|
4
|
7
|
6
|
0
|
1
|
2
|
Gambar 2.10 Konsep dengan garis bilangan
Penyajian dengan model abstrak dapat dilakukan
dengan pengurangan berulang sampai sisanya nol atau sisanya lebih kecil dari
pembagi, jug dapat diajarkan melalui pmbagian secara acak maupun pembagian
secara singkat. Untuk lebih memahami ikuti contoh-contoh dibawah ini.
Contoh
1 :
Menunjukan hasil 10 : 2 dengan cara berulang.
Caranya adalah lakukan pengurangan terhadap 10 dengan 2 terus menerus sampai
habis (sisanya lebih dari 2). Hasil baginya adalah banyaknya pengurangan yang
dilakukan. Untun 10 : 2 dapat diperhatikan sebagai berikut :
10
ke-1
ke-2
ke-3
ke-4
ke-5
Ternyata untuk sampai ke sisa 0 (sisanya lebih kecil
dari 2) pengurangan terhadap 10 oleh 2 dilakukan sebanyak 5 kali. Berarti 10 :
2 = 5. Hal diatas berarti 10 habis dibagi 2.
Contoh 2 :
Menunjukan hasil 72 : 6 dengan acak (sembarang).
Ada beberapa cara yang bisa
dilakukan untuk menentukan hasil bagi diatas. Anda perhatikan pengerjaan berikut
:
10+2=12
6 72 10 6 72
60 2 60
12 12
12 12
0 0
12
dijumlahkan
Jadi 72 : 6 = 12
Contoh 3 :
Menampilkan hasil 84 : 6 dengan cara singkat.
1 14
a)
6 84 b) 6 84
6 6
24 24
24
0
Pada langkah a) melakukan pengerjaan 8 : 6=1 sisa 2.
Angka 1 ditulis tepat diatas puluhan bilangan yang dibagi (karena b1 berarti
sepuluh), sedangkan sisanya dapat ditulis dibawah angka puluhan bilangan yang
dibagi. Angka 6 yang ditulis dibawah angka puluhan bilangan yang dibagi adalah
hasil kali antara 1 (bilangan hasil bagi 8 : 6) dengan bilangan 6 (bilangan
pembagi). Sehingga sisanya itu
sebenarnya hasil dari 8-6 = 2 karena 2 tidak bisa dibagi 6 (hasilnya bukan bilangan
asli), maka angka 4 pada satuan bilangan yang dibagi, kita turunkan dan ditulis
dibelakang angka 2 (angka sisa 8 : 6).
Pada langkah b) kita meluruskan pengerjaan 24 : 6 =
4, ternyata sisanya nol. Angka 4 tersebut kita tuliskan dibelakang angka 1
(angka hasil 8 : 6) jadi 84 : 6 = 14. Ternyata 84 habisa dibagi 6, sebab
sisanya nol.
Contoh
4 :
Menentukan
hasil bagi 54 : 6 dengan cara singkat
9
6 54
54
0
Pada
pengerjaan ini kita tidak lagi menentukan hasil bagi, sebab hasilnya bukan
bilangan asli (5 tidak bisa dibagi 6). Oleh karena itu kita langsung membagi 54
: 6. Sehingga 54 : 6 = 9.
Untuk
bilangan-bilangan yang lebih besar, misalnya ribuan, puluh ribuan, tahap
penyelesaiannya adalah sama seperti di atas.
Menentukan
hasil bagi pada bilangan cacah seperti model singkat seperti di atas, jelas
diperlukan pemahaman fakta dasar pembagian. Yang dimaksud dengan fakta dasar
pembagian pada bilangan pembagi dan hasil baginya haruslah bilangan 0 sampai 9.
Jadi jika a : b = c adalah hasil bagi maka fakta dasar pembagian 0
, a tidak boleh bilangan prima lebih
besar atau sama dengan 11 dan a harus dibagi b. misalnya 81 : 9, 9 :1, 12 : 4
dan sebagainya adalah merupakan fakta dasar. Sedangkan 81 : 3, 24 : 2, 36 :3
bukan fakta dasar pembagian.
a.
Alogaritma Pembagian
Cara mengajar Alternatif Alogaritma
Pembagian
Pertama
kita akan mempelajari cara mengajar alogaritma pembagian dengan pengurangan
berulang. Cara ini dapat kita mulai dengan kegiatan berikut :
1)
32
1675
5
2)
32 1675
5
3)
32 1675
160
4)
32 1675
160
7
a)
Taksirlah hasil bagi dan tentukan
banyaknya angka dalam hasil bagi. Dalam 1675 terdapat lebih dari sepuluh 32-an
tetapi kurang dari seratus-an(3200). Jadi hasil baginya mempunyai dua angka.
b)
Tentukan hasil bagi pertama “ada berapa
3-an dalam 167”
c)
Kalikan 5 x 32. Hasilnya 160,
ditempatkan dibawah
d)
Kurangkan 160 dari 167
e)
Bandingkan selisihnya 7 dengan
pembaginya, 32 untuk memastikan bahwa sisanya kurang dari pembaginya.
f)
Tentukan angka berikutnya.
Kegiatan ini
dapat didahului dengan latihan dengan bilangan yang lebih kecil m isalnya 15 :
3 = 5. Sekarang kita akan mencari hasil bagi tersebut dengan menggunakan cara
ani tadi. Pertama kita tulis soal tersebut sebagai berikut
Minta seorang anak menerka berapa hasilnya. Misalnya
ia menduga hasilnya 4. Guru bertanya ‘’3 x 4 = .. ?” jika jawabannya 12 maka
suruh anak tersebut untuk menulisnya di papan seperti yang dilakukan Ani tadi.
3/ 15
12
15
– 12 = … ? siswa, 3 pak ( bu ). Sekarang tulis di papan
3/ 15
12
3
Sekarang
3 : 3 = …. ? siswa. 1 pak ( bu ). Jadi 15 : 5 = …?
4
+ 1 = 5. dan jika di tulis, maka
3/ 15
12 4
3
3 1
0 5
Sesudah itu kegiatan dilanjutkan dengan cara
penulisan yang lebih sederhana/ singkat, yaitu :
5
3 15 jadi 15 : 3 = 5
15
0
Bila murid telah diperkenalkan pada makna pembagian
panjang dan telah mencoba berbagai tahap seperti di jelaskan di atas, berarti
mereka telah siap mengembangkan atau mempelajari algaritma pembagian panjang.
Ketika bekerja dengan algoritma ini, mereka mengembangkan berbagai cara
menaksir banyaknya angka dalam hasil bagi dan menyempurnakan suatu pola kerja
yang sistematis, agar dapat menyelesaikan soal dengan cepat dan tepat. Dalam
mengikuti algoritma ini, latihan diserahkan menuju penyempurnaan cara yang di
bawah ini diilustrasikan untuk 32 / 1675
a)
32 1675
5
b)
32
1675
5
c)
32
1675
160
5
d)
32 1675
160
7
5
e)
32
1675
160
75
Langkah-langkah dalam menyelesaikan
soal di atas adalah
1)
Taksirlah hasil bagi dan tentukan
banyaknya angka dalam hasil bagi. Dalam 1675 terdapat lebih dari sepuluh 32-an
tetapi kurang dari seratus-an(3200). Jadi hasil baginya mempunyai dua angka.
2)
Tentukan taksiran hasil bagi yang
pertama : “ ada berapa 3-an dalam 167”
3)
Kalikan 5 x 32. Hasilnya, 160, di
tempatkan di bawah
4)
Kurangkan 160 dari 167
5)
Bandingkan selisihnya, 7, dengan
pembagiannya, 32 untuk memastikan bahwa sisanya kurang dari pembaginya.
6)
Tentukan angka berikutnya.
Pada saat murid sedang mengerjakan soal, dapat
disuruh menjelaskan apa yang sedang dikerjakan dan apa arti bilangan-bilangan
yang digunakannya itu. Misalnya, dalam pembagian yang belum selesai ini.
7
23 1762
161
15
Sekarang tiba
saatnya kita memperhatikan cara mengajar fakta pembagian dengan menggunakan
pola. Misalnya kita hendak menggunakan pola distributive pembagian terhadap
penjumlahan. Cara ini dapat dipergunakan apabila siswa telah mengenal fakta
pembagian yang lebih sederhana. Karena siswa telah mengenal sifat distributive
pembagian terhadap penjumlahan maka pertama mereka perlu diberi soal-soal yang
dapat membimbing mereke menemukan sifat ini. Contoh soal di bawah ini, siswa
dianggap telah mengetahui bahawa 20 : 5 = 4;
20 : 5 = ……..
(10 +
10) : 5 = (10 : 5) + (10 : 5 ) = …….
Jadi, 20 : 5 = (10 + 10) : 3 = ( 10 : 5 ) + ( 10 :
5 ) = 4
|
Setelah siswa menemukan sifat ini, kegiatan
selanjutnya adalah memantapkan penemuan siswa tersebut dengan mengerjakan soal
latihan .
12 : 3 = ( 6 + 6 ) : 3
= ….
18 : 3 = ( 9 + 9 ) : 3
= ….
Ringkasan Cara Mengajar
Fakta Pembagian
Soal Cara Penyelesaian
9
: 3 Menggunakan cara himpunan yang
disebut 9 : 3 = 3
6 : 2 Menggunakan
susunan 6
: 2 = 3
`
20
: 4 Menggunakan sifat distributif 16 : 5 = 5
Pembagian terhadap penjumlahan
20
: 4 = ( 16 + 4 ) : 4
Soal Cara Penyelesaian
20
: 5 Menggunakan pengurangan berulang 20 : 5 = 4
20 – 5 = 15
15 – 5 = 10
10 – 5 = 5
5 – 5 = 0
BAB III
PENUTUP
3.1 Simpulan
Untuk
memahami konsep pengurangan dapat menggunakan model konkret, semi konkret, semi
abstrak, dan abstrak. Model yang dipilih harus disesuaikan dengan tarap
berpikir siswa. Fakta dasar pengurangan adalah pengurangan dua bilangan cacah
dimana bilangan yang dikurangi dari 0 sampai 18, bilangan pengurangan dan hasil
dari 0 sampai 8. Untuk menyajikan konsep perkalian dapat dilakukan melalui
penjumlahan berulang dan garis bilangan. Sedangkan penyajian secara abstrak
dapat dilakukan dengan model abstrak cara panjang dan model cara singkat. Untuk
mengajarkan konsep pembagian diharapkan dimulai dengan menggunakan benda
konkret atau alat peraga. Untuk
mengajarkan konsep pembagian dapat menggunakan berbagai macam model. Model yang
pertama paling terkenal dan banyak digunakan adalah model pengukuran. Selain
menggunakan model pengukuran dapat juga menggunakan model himpunan, model garis
bilangan, dan model abstrak.
3.2 Saran
Untuk pembelajaran
matematika di SD khususnya mengenai materi bilangan cacah sebaiknya
pembelajaran dikemas lebih kepada pembelajaran yang menuntut siswa lebih aktif.
Selain itu dalam proses pembelajaran hendaknya didukung dengan media yang
kongkret dan dekat dengan lingkungan siswa. Sehingga proses pembelajaran bisa
berjalan dengan menarik dan siswa bisa memahami materi dengan lebih mudah.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar